Vorlesung im Wintersemester 2016/17

Grundlagen der Quantenfehlerkorrektur -
Foundations of Quantum Error Correction

(Dr. Markus Grassl)

Termin: mittwochs, 10:00-12:00 Uhr Seminarraum der Didaktik der Physik SR 00.732

Angaben

Vorlesung, 2,5 SWS, ECTS-Studium, ECTS-Credits: 5, Sprache Deutsch (bei Bedarf Englisch)
Zeit und Ort: Mi 10:00 - 12:00, SR 00.732

Studienfächer / Studienrichtungen

WF M-BA ab 4
WF M-MA ab 1
WF Ph-BA ab 5
WF Ph-MA ab 1

Voraussetzungen / Organisatorisches

Die Vorlesung wendet sich an Studierende der Fachrichtungen Physik sowie Informatik, Mathematik und Elektrotechnik. Die erforderlichen Grundlagen aus den Bereichen klassische Codierungstheorie, Quantenmechanik und Quantum Computing werden in der Vorlesung vermittelt

Interessenten werden gebeten, per E-Mail Kontakt aufzunehmen. Sprechstunde nach Vereinbarung.

Inhalt

Die Vorlesung führt in die Theorie der fehlerkorrigierenden Codes für Quantensysteme ein.
Quantencodes dienen dazu, Fehler bei der Übertragung und Verarbeitung von Information, die in quantenmechanisch modellierten Systemen gespeichert ist, zu erkennen und zu korrigieren. Die Entwicklung von effizienten Quantencodes und entsprechender Algorithmen stellt einen wichtigen Schritt dar auf dem Weg zur Realisierung von Quantenrechnern.
Nach einer Einführung in die grundlegenden Konzepte der Informationsverarbeitung mittels quantenmechanischer Systeme und einiger Grundlagen aus der Quantenmechanik werden allgemeine Konstruktionen von Quantencodes behandelt. Anhand spezieller Klassen von Quantencodes werden verschiedene Prinzipien von Algorithmen zur Codierung dieser Codes untersucht.

ECTS-Informationen:

Credits: 5

Prüfung:

mündlich, nach Ende der Vorlesungszeit, Anmeldung per E-Mail

• 1. Vorlesung: Grundlagen aus der Quantenmechanik
  • Bra-Ket-Schreibweise
  • Zustandsraum
  • Messung
  • Zeitentwicklung eines geschlossenen Quantensystems (diskret/kontinuierlich)
  • Zustandsraum zusammengesetzter Quantensysteme
• 2. Vorlesung
  • Dynamik zusammengesetzter Quantensysteme
  • Messung zusammengesetzter Quantensysteme
  • Produktzustände/verschränkte Quantenzustände
  • Messung von Teilsystemen
  • gemischte Quantenzustände
• 3. Vorlesung
  • Spektralzerlegung von Dichtematrizen
  • Partialspur/reduzierte Dichtematrix
  • reine Ergänzung einer Dichtematrix
  • Schmidt-Zerlegung eines reinen Zustands
  • maximal gemischter Zustand/maximal verschränkter Zustand
• 4. Vorlesung
  • Zustandsübergangsdiagramme für klassische Kanäle (Beispiele: BSC, Z-Kanal, Auslöschungskanal)
  • AWGN-Kanal mit kontinuierlichem Ausgabealphabet
  • Shannon-Entropie
  • binäre Entropiefunktion
  • bedingte Entropie (conditional entropy)
  • mutual information I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)
  • Kanalkapazität
  • Shannons zweiter Fundamentalsatz der Codierungstheory (noisy coding theorem)
  • Kapazität des binären symmetrischen Kanals (BSC)
  • klasischer Wiederholungscode
  • Literatur:

    Dagmar Bruß und Gerd Leuchs (Eds.)
    Lectures on Quantum Information
    Weinheim: Wiley-VCH, 2006.
    ISBN 3-527-40527-5 (Probekapitel)

• 5. Vorlesung: Quantenkanäle
  • eigentliches System mit Kontrollsystem und Umgebung
  • Kanal modelliert als Wechselwirkung des Systems mit der Umgebung
  • Annahmen:
    • Anfangszustand ist ein Tensorprodukt des Systemzustands und des Zustands der Umgebung
    • Umgebung initial im reinen Zustand |Φ⟩
    • unitäre Dynamik U auf dem Gesamtsystem
  • Systemzustand via Partialspur über die Umgebung
    ρ_out=Tr_env(U(ρ_in⊗|Φ⟩⟨Φ|_env)U^†)
  • Operatorsummendarstellung ρ_out=∑_i A_i ρ_in A_i^†
  • Beispiele (Qubit-Kanäle):
    • Messung des Systems
    • Qubit-Wechselwirkung: controlled-NOT (CNOT)
    • zufällige Veränderung der relativen Phase
    • Depolarisiserungskanal
• 6. Vorlesung: Quantenkanäle (Fortsetzung)
  • Bloch-Kugel und Block-Vektor (siehe Wikipedia)
  • Effekt von Quantenkanälen auf der Bloch-Kugel:
    • Depolarisationskanal: Kontraktion der Kugel
    • Messung in einer Basis: Kontraktion des Radius um die zur Messbasis gehörenden Achse
    • Dephasierungskanal: Konvexkombination mit um z-Achse rotiertem Zustand
  • Krausoperatoren für den Qubit-Depolarisationskanal:
    Pauli-Matrizen σ_x, σ_y, σ_z plus Identität I
    1/4(ρ+σ_xρσ_x+σ_yρσ_y+σ_zρσ_z)=1/2 I
  • allgemeine Quantentransformationen
    • linear
    • Spur erhaltend
    • positiv
    • vollständig positiv

    Benjamin Schumacher.
    "Sending entanglement through noisy quantum channels".
    Physical Review A, vol. 54, no. 4, pp. 2614-2628 (1996).
    DOI: 10.1103/PhysRevA.54.2614

  • Vergleich von Quantenzuständen
  • pure state fidelity
    F_p(ψ,φ)=|⟨ψ|φ⟩|²
  • mixed state fidelity
    F_m(ρ₁,ρ₂)=max |⟨Ψ₁|Ψ₂⟩|² (Maximierung bzgl. aller reinen Ergänzungen |Ψ_i⟩)
    F_m(ρ₁,ρ₂)=(Tr[(ρ₁^1/2 ρ₂ ρ₁^1/2)^1/2])²

    Armin Uhlmann.
    "The 'transition probability' in the state space of a *-algebra".
    Reports on Mathematical Physics, vol. 9, no. 2, pp. 273-273 (1976).
    DOI: 10.1016/0034-4877(76)90060-4

    Richard Jozsa.
    "Fidelity for Mixed Quantum States".
    Journal of Modern Optics, vol. 41, no. 12, pp. 2315-2323 (1994).
    DOI: 10.1080/09500349414552171

• 7. Vorlesung: Kanalkapazität
  • Vergleich von Quantenzuständen (teilweise Wiederholung)
  • pure state fidelity F_p
  • mixed state fidelity F_p
  • entanglement fidelity F_e(|Ψ⟩,Q)=∑_i |Tr(ρ_comp A_i)|² mit ρ_comp=Tr_B(|Ψ⟩⟨Ψ|)
  • Relationen:
    • F_e ≤ F_m
    • F_e ≥ (3 F_p-1)/2
    • F_p >1/3 ⇒ F_e > 0
    • F_p = 1 ⇒ F_e = 1
  • Produktkanal Q^⊗n
    Fehleroperatoren sind Tensorprodukte A_i1⊗A_i2⊗…⊗A_in
  • Kanalkapazität
    Grenzwert der Rate der Codierung, für die es eine Decodieroperation gibt, so dass die Übertragungsgüte gegen eins geht.
  • Varianten der Kanalkapazität Q
    • Quantenkapazität Q₂ mit bidrektionaler klassischer Kommunikation
    • klassische Kapazität K eines Quantenkanals
  • Kapazität des Depolarisierungskanals
    • für p < 0.25408 sind Q, Q₂ und K positiv
    • für 1/3 < p < 2/3 verschwindet die Quantenkapazität Q; Q₂ und K positiv
    • für 2/3 < p < 1 sind Q=Q₂=0, nur die klassische Kapazität K ist positiv
    • für p = 1 verschwinden alle Kapazitäten

    Charles H. Bennett, David P. DiVincenzo, and John A. Smolin.
    "Capacities of Quantum Erasure Channels".
    Physical Review Letters, vol. 78, no. 16, pp. 3217-3220 (1997).
    DOI: 10.1103/PhysRevLett.78.3217

    David P. DiVincenzo, Peter W. Shor, and John A. Smolin.
    "Quantum-channel capacity of very noisy channels"
    Physical Review A, vol. 57, no. 2, pp. 830-839 (1998).
    DOI: 10.1103/PhysRevA.57.830

  • Quanten-Auslöschungskanal
    
    • QEC_p(ρ)=(1-p)ρ + p |ε⟩⟨ε|
    • Quantenkapazität: max(0,1-p)
    • Kapazität Q₂ mit bidirektionalem klassischem Kanal; klassische Kapazität: 1-p
  • Quanten-Wiederholungscode?
    mehrfaches Senden des gleichen Quantenzustands, z. B. |φ⟩^⊗n
    • Vergleich der empfangenen Quantenzustände nur statistisch möglich, aber Test, ob der Zustand invariant ist bzgl. Vertauschung der Kopien

      Adriano Barenco, André Berthiaume, David Deutsch, Artur Ekert, Richard Jozsa, and Chiara Macchiavello.
      "Stabilization of Quantum Computations by Symmetrization".
      SIAM J. Comput., vol. 26, no. 5, pp, 1541-1557 (1997).
      DOI: 10.1137/S0097539796302452

    • unbekannte Quantenzustände können nicht kopiert werden

      W. K. Wootters and W. H. Zurek.
      "A single quantum cannot be cloned".
      Nature, vol. 299, pp. 802-803 (1982).
      DOI: 10.1038/299802a0
      arXiv quant-ph/9604028

• 8. Vorlesung: einfacher Quantencode
  • "Quantenwiederholungscode" |φ⟩ → |φ⟩^⊗n liefert nicht das gewünschte Ergebnis
  • Triple-Wiederholungscode für die Basiszustände
    • |0⟩ → |000⟩ und |1⟩ → |111⟩
      
    • codierter Zustand: α|000⟩ + β|111⟩
    • Zerlegung des Gesamtraums in paarweise orthogonale Teilräume, die den Fehlern III, XII, IXI und IIX entsprechen
    • Codierung mit Hilfe von zwei CNOT-Gattern
    • indirekte Messung via Berechnung von zwei Syndrom-Qubits (Prüfgleichungen)
    • Korrektur eines Bit-Flip-Fehlers
  • Korrektur eines Phasen-Fehlers:
  • Hadamard-Transformation vertauscht X und Z
  • Hadamard-Transformation des Drei-Qubit-Codes vor und nach der Übertragung
• 9. Neun-Qubit-Code; Codebedingungen
  • Neun-Qubit-Code
  • Phasenfehler wirken auf dem Drei-Qubit-Code wie codierte Z-Fehler
  • zweistufige Codierung ergibt Shors 9-Qubit-Code

  Peter W. Shor.
  "Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory."
  Physical Review A, vol. 52, no. 4, pp. R2493-R2496, 1995.
  DOI: 10.1103/PhysRevA.52.R2493

  • hinreichende und notwendige Bedingungen für die perfekte Korrektur von Fehlern

    Emanuel Knill and Raymond Laflamme.
    "Theory of quantum error-correcting codes."
    Physical Review A, vol. 55, no. 2, pp. 900-911, 1997.
    DOI 10.1103/PhysRevA.55.900

  • konstruktiver Beweis

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  leider nur Kurzfassungen für die folgenden Vorlesungen

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• 10. Degenerierte Codes, Hamming-Schranke
• 11. Klassische Blockcodes
• 12. CSS-Codes
• 13. Codierung/Decodierung von CSS-Codes, n-Qubit-Pauli-Matrizen
• 14. Stabilizer-Codes/5-Qubit-Code

• Dagmar Bruß und Gerd Leuchs (Eds.)
  Lectures on Quantum Information
  Weinheim: Wiley-VCH, 2006.
  ISBN 3-527-40527-5 (Probekapitel)

• A. Robert Calderbank, Eric. M. Rains, Peter W. Shor, and Neil J. A. Sloane,
  "Quantum Error Correction Via Codes over GF(4),"
  IEEE Transactions on Information Theory, 44(4):1369-1387, July 1998.
  DOI: 10.1109/18.681315,
  preprint quant-ph/9608006.

• Daniel Gottesman,
  "Class of quantum error-correcting codes saturating the quantum Hamming bound,"
  Physical Review A, vol 54, no. 3, pp. 1862-1868, 1996.
  DOI: 10.1103/PhysRevA.54.1862
  preprint quant-ph/9604038.

• Markus Grassl.
  Fehlerkorrigierende Codes für Quantensysteme: Konstruktionen und Algorithmen
  Aachen: Shaker Verlag, August 2002.
  Zugl.: Universität Karlsruhe, Dissertation, Februar 2001.
  ISBN 3-8322-0492-X

• Matthias Homeister.
  Quantum Computing verstehen
  Heidelberg: Springer, 2013.
  ISBN: 978-3-8348-1868-3

• Emanuel Knill and Raymond Laflamme.
  "Theory of quantum error-correcting codes."
  Physical Review A, vol. 55, no. 2, pp. 900-911, 1997.
  DOI 10.1103/PhysRevA.55.900

• Michael Nielsen und Isaac Chuang.
  Quantum Computation and Information
  Cambridge University Press, 2000.
  ISBN: 978-0-5216-3503-5
  DOI 10.2277/0521635039

Markus Grassl Max-Planck-Institut für die Physik des Lichts Staudtstraße 2 91058 Erlangen Büro: A.3.414 Telefon: +49 9131 7133 136 E-Mail: Markus.Grassl[at]mpl.mpg.de