Vorlesung im Wintersemester 2017/18

Grundlagen der Quantenfehlerkorrektur -
Foundations of Quantum Error Correction

(Dr. Markus Grassl)

Termin: dienstags, 10:00-12:00 Uhr Seminarraum der Didaktik der Physik SR 00.732

Angaben

Vorlesung, 2,5 SWS, ECTS-Studium, ECTS-Credits: 5, Sprache Deutsch (bei Bedarf Englisch)
Zeit und Ort: Di 10:00 - 12:00, SR 00.732

Studienfächer / Studienrichtungen

WF M-BA ab 4
WF M-MA ab 1
WF Ph-BA ab 5
WF Ph-MA ab 1

Voraussetzungen / Organisatorisches

Die Vorlesung wendet sich an Studierende der Fachrichtungen Physik sowie Informatik, Mathematik und Elektrotechnik. Die erforderlichen Grundlagen aus den Bereichen klassische Codierungstheorie, Quantenmechanik und Quantum Computing werden in der Vorlesung vermittelt

Interessenten werden gebeten, per E-Mail Kontakt aufzunehmen. Sprechstunde nach Vereinbarung.

Inhalt

Die Vorlesung führt in die Theorie der fehlerkorrigierenden Codes für Quantensysteme ein.
Quantencodes dienen dazu, Fehler bei der Übertragung und Verarbeitung von Information, die in quantenmechanisch modellierten Systemen gespeichert ist, zu erkennen und zu korrigieren. Die Entwicklung von effizienten Quantencodes und entsprechender Algorithmen stellt einen wichtigen Schritt dar auf dem Weg zur Realisierung von Quantenrechnern.
Nach einer Einführung in die grundlegenden Konzepte der Informationsverarbeitung mittels quantenmechanischer Systeme und einiger Grundlagen aus der Quantenmechanik werden allgemeine Konstruktionen von Quantencodes behandelt. Anhand spezieller Klassen von Quantencodes werden verschiedene Prinzipien von Algorithmen zur Codierung dieser Codes untersucht.

ECTS-Informationen:

Credits: 5

Prüfung:

mündlich, nach Ende der Vorlesungszeit, Anmeldung per E-Mail

• 1. Vorlesung: Grundlagen aus der Quantenmechanik
  • Bra-Ket-Schreibweise
  • Zustandsraum
  • Messung
  • Zeitentwicklung eines geschlossenen Quantensystems (diskret/kontinuierlich)
• 2. Vorlesung
  • Zustandsraum zusammengesetzter Quantensysteme
  • Dynamik zusammengesetzter Quantensysteme
  • Messung zusammengesetzter Quantensysteme
  • Produktzustände/verschränkte Quantenzustände
  • Messung von Teilsystemen
  • gemischte Quantenzustände
• 3. Vorlesung
  • Spektralzerlegung von Dichtematrizen
  • Partialspur/reduzierte Dichtematrix
  • reine Ergänzung einer Dichtematrix
  • Schmidt-Zerlegung eines reinen Zustands
  • maximal gemischter Zustand/maximal verschränkter Zustand
• 4. Vorlesung
  • Zustandsübergangsdiagramme für klassische Kanäle (Beispiele: BSC, Z-Kanal, Auslöschungskanal)
  • AWGN-Kanal mit kontinuierlichem Ausgabealphabet
  • Shannon-Entropie
  • binäre Entropiefunktion
  • bedingte Entropie (conditional entropy)
  • mutual information I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)
  • Kanalkapazität
  • Shannons zweiter Fundamentalsatz der Codierungstheory (noisy coding theorem)
  • Kapazität des binären symmetrischen Kanals (BSC)
  • klasischer Wiederholungscode
  • Literatur:

    Dagmar Bruß und Gerd Leuchs (Eds.)
    Lectures on Quantum Information
    Weinheim: Wiley-VCH, 2006.
    ISBN 3-527-40527-5 (Probekapitel)

• 5. Vorlesung
  • Pauli-Spin-Matrizen
  • Bloch-Kugel und Block-Vektor (siehe Wikipedia)
  • "Quanten-Wiederholungscode" |φ⟩ → |φ⟩|φ⟩|φ⟩
    • No-Cloning-Theorem

      W. K. Wootters and W. H. Zurek.
      "A single quantum cannot be cloned".
      Nature, vol. 299, pp. 802-803 (1982).
      DOI: 10.1038/299802a0

    • Vergleich von Quantenzuständen nur statistisch möglich
  • einfacher Quantencode: |0⟩ →|000⟩; |1⟩ →|111⟩

• Dagmar Bruß und Gerd Leuchs (Eds.)
  Lectures on Quantum Information
  Weinheim: Wiley-VCH, 2006.
  ISBN 3-527-40527-5 (Probekapitel)

• A. Robert Calderbank, Eric. M. Rains, Peter W. Shor, and Neil J. A. Sloane,
  "Quantum Error Correction Via Codes over GF(4),"
  IEEE Transactions on Information Theory, 44(4):1369-1387, July 1998.
  DOI: 10.1109/18.681315,
  preprint quant-ph/9608006.

• Daniel Gottesman,
  "Class of quantum error-correcting codes saturating the quantum Hamming bound,"
  Physical Review A, vol 54, no. 3, pp. 1862-1868, 1996.
  DOI: 10.1103/PhysRevA.54.1862
  preprint quant-ph/9604038.

• Markus Grassl.
  Fehlerkorrigierende Codes für Quantensysteme: Konstruktionen und Algorithmen
  Aachen: Shaker Verlag, August 2002.
  Zugl.: Universität Karlsruhe, Dissertation, Februar 2001.
  ISBN 3-8322-0492-X

• Matthias Homeister.
  Quantum Computing verstehen
  Heidelberg: Springer, 2013.
  ISBN: 978-3-8348-1868-3

• Emanuel Knill and Raymond Laflamme.
  "Theory of quantum error-correcting codes."
  Physical Review A, vol. 55, no. 2, pp. 900-911, 1997.
  DOI 10.1103/PhysRevA.55.900

• Michael Nielsen und Isaac Chuang.
  Quantum Computation and Information
  Cambridge University Press, 2000.
  ISBN: 978-0-5216-3503-5
  DOI 10.2277/0521635039

Markus Grassl Max-Planck-Institut für die Physik des Lichts Staudtstraße 2 91058 Erlangen Büro: A.3.414 Telefon: +49 9131 7133 136 E-Mail: Markus.Grassl[at]mpl.mpg.de