Vorlesung im Wintersemester 2015/16

Grundlagen der Quantenfehlerkorrektur

(Dr. Markus Grassl)

Termin:	dienstags, 10:00-12:00 Uhr
	Seminarraum der Didaktik der Physik SR 00.732

Angaben

Vorlesung, 2,5 SWS, ECTS-Studium, ECTS-Credits: 5, Sprache Deutsch (bei Bedarf Englisch)
Zeit und Ort: Di 10:00 - 12:00, SR 00.732

Studienfächer / Studienrichtungen

WF M-BA ab 4
WF M-MA ab 1
WF Ph-BA ab 5
WF Ph-MA ab 1

Voraussetzungen / Organisatorisches

Die Vorlesung wendet sich an Studierende der Fachrichtungen Physik sowie Informatik, Mathematik und Elektrotechnik. Die erforderlichen Grundlagen aus den Bereichen klassische Codierungstheorie, Quantenmechanik und Quantum Computing werden in der Vorlesung vermittelt

Interessenten werden gebeten, per E-Mail Kontakt aufzunehmen. Sprechstunde nach Vereinbarung.

Inhalt

Die Vorlesung führt in die Theorie der fehlerkorrigierenden Codes für Quantensysteme ein.
Quantencodes dienen dazu, Fehler bei der Übertragung und Verarbeitung von Information, die in quantenmechanisch modellierten Systemen gespeichert ist, zu erkennen und zu korrigieren. Die Entwicklung von effizienten Quantencodes und entsprechender Algorithmen stellt einen wichtigen Schritt dar auf dem Weg zur Realisierung von Quantenrechnern.
Nach einer Einführung in die grundlegenden Konzepte der Informationsverarbeitung mittels quantenmechanischer Systeme und einiger Grundlagen aus der Quantenmechanik werden allgemeine Konstruktionen von Quantencodes behandelt. Anhand spezieller Klassen von Quantencodes werden verschiedene Prinzipien von Algorithmen zur Codierung dieser Codes untersucht.

ECTS-Informationen:

Credits: 5

Prüfung:

mündlich, nach Ende der Vorlesungszeit, Anmeldung per E-Mail

1. Vorlesung
- Bra-Ket-Schreibweise
- Zustandsraum
- Messung
2. Vorlesung
- Zeitentwicklung eines geschlossenen Quantensystems (diskret/kontinuierlich)
- zusammengesetzte Quantensysteme
- Zustandsübergangsdiagramme für klassische Kanäle
- AWGN-Kanal mit kontinuierlichem Ausgabealphabet
- Shannon-Entropie
3. Vorlesung
- bedingte Entropie (conditional entropy)
- mutual information I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)
- Kanalkapazität
- Shannons zweiter Fundamentalsatz der Codierungstheory (noisy coding theorem)
- Kapazität des binären symmetrischen Kanals (BSC)
- binäre Entropiefunktion
- klasischer Wiederholungscode
- Ensemble von Quantenzuständen, Dichtematrix
4. Vorlesung
- Dichtematrix
- Spektralzerlegung
- reine Ergänzung
- Partialspur
- Schmidt-Zerlegung
  Lane P. Hughston, Richard Jozsa, and William K. Wootters.
  "A complete classification of quantum ensembles having a given density matrix."
  Physics Letters A, vol. 183, no. 1, November 1993, pp. 14-18.
  DOI: 10.1016/0375-9601(93)90880-9
- Ausblick: Quantenkanal
5. Vorlesung
- Annahmen für Quantenkanäle
  - System und Umgebung in einem reinen Zustand
  - Anfangszustand ist ein Produktzustand bzgl. System und Umgebung
- Herleitung der Darstellung von Quantenkanälen via Kraus-Operatoren
- allgemeine Quantentransformationen
  - linear
  - Spur erhaltend
  - positiv
  - vollständig positiv
  Benjamin Schumacher.
  "Sending entanglement through noisy quantum channels".
  Physical Review A, vol. 54, no. 4, pp. 2614-2628 (1996).
  DOI: 10.1103/PhysRevA.54.2614
- Beispiel: partielle Transposition ist positiv, aber nicht vollständig positiv
- Produktkanal
6. Vorlesung
- Vergleich von Quantenzuständen
  - pure state fidelity
    F_p(ψ,φ)=|⟨ψ|φ⟩|²
  - mixed state fidelity
    F_m(ρ₁,ρ₂)=max |⟨Ψ₁|Ψ₂⟩|² (Maximierung bzgl. aller reinen Ergänzungen |Ψ_i⟩)
    Armin Uhlmann.
    "The 'transition probability' in the state space of a *-algebra".
    Reports on Mathematical Physics, vol. 9, no. 2, pp. 273-273 (1976).
    DOI: 10.1016/0034-4877(76)90060-4
    
    Richard Jozsa.
    "Fidelity for Mixed Quantum States".
    Journal of Modern Optics, vol. 41, no. 12, pp. 2315-2323 (1994).
    DOI: 10.1080/09500349414552171
  - entanglement fidelity
    F_e(Q,Ψ)=⟨Ψ|(I⊗Q)(Ψ)|Ψ⟩
  - Relationen:
    - F_p(Q) ≥ F_e(Q) ≥ (3 F_p(Q)-1)/2 (Knill & Laflamme 1997)
    - F_m(Q) ≥ F_e(Q) (Schumacher 1996)
- Kapazität von Quantenkanälen:
  Maximale Rate einer Codierung C, für die es eine Decodierabbildung D gibt, so dass die Übertragungsgüte des Kanals D_° Q^⊗n_° C für n→∞ gegen eins geht.
  Im allgemeinen muss man den Grenzwert n→∞ berechnen und es reicht, im Gegegensatz zu klassischen Kanälen, nicht, nur n=1 zu betrachten.
7. Vorlesung
- Varianten der Kanalkapazität
  - Quantenkapazität Q₂ mit bidrektionaler klassischer Kommunikation
  - klassische Kapazität K eines Quantenkanals
  - Quantenkapazität mit verschränkten Zuständen (entanglement assisted capacity)
    - Teleportation
    - dense coding
- Spezielle QuantenKanäle
  - Depolarisierungskanal
  - verallgemeinerter Pauli-Kanal
  - Dephasierungskanal
- Kapazität des Depolarisierungskanals
  - für p<0.25408 sind Q, Q₂ und K positiv
  - für 1/3 < p<2/3 verschwindet die Quantenkapazität Q; Q₂ und K positiv
  - für 2/3≤ p<1 sind Q=Q₂=0, nur die klassische Kapazität K ist positiv
  - für p=1 verschwinden alle Kapazitäten
  Charles H. Bennett, David P. DiVincenzo, and John A. Smolin.
  "Capacities of Quantum Erasure Channels".
  Physical Review Letters, vol. 78, no. 16, pp. 3217-3220 (1997).
  DOI: 10.1103/PhysRevLett.78.3217
  
  David P. DiVincenzo, Peter W. Shor, and John A. Smolin.
  "Quantum-channel capacity of very noisy channels"
  Physical Review A, vol. 57, no. 2, pp. 830-839 (1998).
  DOI: 10.1103/PhysRevA.57.830
- Quanten-Wiederholungscode?
  W. K. Wootters and W. H. Zurek.
  "A single quantum cannot be cloned".
  Nature, vol. 299, pp. 802-803 (1982).
  DOI: 10.1038/299802a0
8. Vorlesung
- Drei-Qubit-Code mit Basis |000⟩ und |111⟩
  - Korrektur eines Bit-Flip-Fehlers
  - Phasenfehler auf physikalischer Ebende werden zu logischen Phasenfehlern
- Korrektur von Phasenfehlern nach Hadamard-Transformation
- zweistufige Codierung ergibt Shors 9-Qubit-Code
  Peter W. Shor.
  "Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory."
  Physical Review A, vol. 52, no. 4, pp. R2493-R2496, 1995.
  DOI: 10.1103/PhysRevA.52.R2493
- Quantenschaltkreise zur Codierung, Syndromberechnung und Fehlerkorrektur
9. Vorlesung
- Quantengatter
  - Ein-Qubit-Gatter, Pauli-Matrizen, Hadamard-Transformation
  - Zwei-Qubit-Gatter, CNOT
  - mehrfach kontrollierte Quantengatter, Toffoli-Gatter
  - Toffoli-Gatter (plus Konstanten) ist universell für klassische (reversible) Logik
  - beliebige Ein-Qubit-Gatter und CNOT sind universell für beliebige unitäre Tranformationen auf n Qubit
    Adriano Barenco, Charles H. Bennett, Richard Cleve, David P. DiVincenzo, Norman Margolus, Peter Shor, Tycho Sleator, John A. Smolin, and Harald Weinfurter.
    "Elementary gates for quantum computation."
    Physical Review A, vol. 52, no. 5, pp. 3457-3467, 1995.
    DOI: 10.1103/PhysRevA.52.3457
- hinreichende und notwendige Bedingungen für die perfekte Korrektur von Fehlern
  Emanuel Knill and Raymond Laflamme.
  "Theory of quantum error-correcting codes."
  Physical Review A, vol. 55, no. 2, pp. 900-911, 1997.
  DOI 10.1103/PhysRevA.55.900
- konstruktiver Beweis
10. Vorlesung
- hinreichende Codebedingungen von Ekert und Macchiavello
- nicht-degenerierte Quantencodes/reine Quantencodes
- Gewicht eines Fehleroperators
- Hamming-Schranke für Quantencodes
- klassische Blockcodes
  - endliche Körper, Vektorräme
  - Hamming-Distanz
  - lineare binäre Blockcodes C=[n,k,d]₂
  - Generatormatrix und Kontroll-/Prüfmatrix
  - Hamming-Code C=[7,4,3]₂

Literaturhinweise

Dagmar Bruß und Gerd Leuchs (Eds.)
Lectures on Quantum Information
Weinheim: Wiley-VCH, 2006.
ISBN 3-527-40527-5
A. Robert Calderbank, Eric. M. Rains, Peter W. Shor, and Neil J. A. Sloane,
"Quantum Error Correction Via Codes over GF(4),"
IEEE Transactions on Information Theory, 44(4):1369-1387, July 1998.
DOI: 10.1109/18.681315,
preprint quant-ph/9608006.
Daniel Gottesman,
"Class of quantum error-correcting codes saturating the quantum Hamming bound,"
Physical Review A, vol 54, no. 3, pp. 1862-1868, 1996.
DOI: 10.1103/PhysRevA.54.1862
preprint quant-ph/9604038.
Markus Grassl.
Fehlerkorrigierende Codes für Quantensysteme: Konstruktionen und Algorithmen
Aachen: Shaker Verlag, August 2002.
Zugl.: Universität Karlsruhe, Dissertation, Februar 2001.
ISBN 3-8322-0492-X
Matthias Homeister.
Quantum Computing verstehen
Heidelberg: Springer, 2013.
ISBN: 978-3-8348-1868-3
Emanuel Knill and Raymond Laflamme.
"Theory of quantum error-correcting codes."
Physical Review A, vol. 55, no. 2, pp. 900-911, 1997.
DOI 10.1103/PhysRevA.55.900
Michael Nielsen und Isaac Chuang.
Quantum Computation and Information
Cambridge University Press, 2000.
ISBN: 978-0-5216-3503-5
DOI 10.2277/0521635039

Weitere Informationen bei:

Markus Grassl
Max-Planck-Institut für die Physik des Lichts
Günther-Scharowsky-Straße 1, Bau 24
91058 Erlangen
Telefon: +49 9131 6877 132
E-Mail: Markus.Grassl[at]mpl.mpg.de

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Letzte Änderung: 22.12.2015